2019-2020学年人教B版选修2-2 数学归纳法习题课 学案
2019-2020学年人教B版选修2-2       数学归纳法习题课      学案第3页

故n=k+1时命题成立.由(1)(2)知,对任意n∈N*,

命题成立.

反思与感悟 证明整除性问题的关键是"凑项",先采用增项、减项、拆项和因式分解等手段,凑成n=k时的情形,再利用归纳假设使问题获证.

跟踪训练2 证明x2n-1+y2n-1(n∈N*)能被x+y整除.

证明 (1)当n=1时,x2n-1+y2n-1=x+y,能被x+y整除.

(2)假设当n=k(k∈N*)时,命题成立,

即x2k-1+y2k-1能被x+y整除.

那么当n=k+1时,x2(k+1)-1+y2(k+1)-1

=x2k+1+y2k+1=x2k-1+2+y2k-1+2

=x2·x2k-1+y2·y2k-1+x2·y2k-1-x2·y2k-1

=x2(x2k-1+y2k-1)+y2k-1(y2-x2).

∵x2k-1+y2k-1能被x+y整除,

y2-x2=(y+x)(y-x)也能被x+y整除,

∴当n=k+1时,x2(k+1)-1+y2(k+1)-1能被x+y整除.

由(1),(2)可知原命题成立.

题型三 利用数学归纳法证明几何问题

思考 用数学归纳法证明几何问题的关键是什么?

答 用数学归纳法证明几何问题的关键是"找项",即几何元素从k个变成k+1个时,所证的几何量将增加多少,还需用到几何知识或借助于几何图形来分析,实在分析不出来的情况下,将n=k+1和n=k分别代入所证的式子,然后作差,即可求出增加量,然后只需稍加说明即可,这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧.

例3 平面内有n(n∈N*,n≥2)条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明:交点的个数f(n)=.

证明 (1)当n=2时,两条直线的交点只有一个,

又f(2)=×2×(2-1)=1,

∴当n=2时,命题成立.

(2)假设n=k(k>2)时,命题成立,

即平面内满足题设的任何k条直线交点个数

f(k)=k(k-1),

那么,当n=k+1时,

任取一条直线l,除l以外其他k条直线交点个数为