1.如何确定两条二次曲线交点的个数?

剖析:要判断两曲线公共点的个数,可解方程组,看有几组解即可,也可结合图形的特征,利用数形结合进行判断.

2.含参数的直线方程与二次曲线交点个数的问题.

剖析:基本方法仍可通过方程解的情况进行讨论.也可利用判别式加以研究.其判别式Δ>0时,有两个公共点,Δ=0时,有一个公共点,Δ<0时,无公共点.特别地,当二次项系数含参数时,首先要讨论二次项系数为0和不为0两种情况,然后再用判别式加以研究.

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【例1】已知抛物线的方程为y2=4x,直线l过定点P(-2,1),斜率为k.k为何值时,直线l与抛物线y2=4x只有一个公共点,有两个公共点,没有公共点?

解析:用解析法解决这个问题,只要讨论直线l的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况,由方程组解的情况判断直线l与抛物线的位置关系.

答案:由题意,设直线l的方程为y-1=k(x+2).

由方程组

(*)

可得ky2-4y+4(2k+1)=0, ①

(1)当k=0时,由方程①得y=1,把y=1代入y2=4x,得x=,这时,直线l与抛物线只有一个公共点(,1).

(2)当k≠0时,方程①的判别式为Δ=-16(2k2+k-1).

①由Δ=0,即2k2+k-1=0,解得k=-1或k=,于是,当k=-1,或k=时,方程①只有一个解,从而方程组(*)只有一个解.这时,直线l与抛物线只有一个公共点.

②由Δ>0,即2k2+k-1<0,解得-1

③由Δ<0,即2k2+k-1>0,解得k<-1,或k>,于是当k<-1,或k>时,方程①没有实数解,从而方程组(*)没有解.这时,直线l与抛物线没有公共点.综上,我们可得

当k=-1,或k=,或k=0时,直线l与抛物线只有一个公共点;

当-1

当k<-1,或k>时,直线l与抛物线没有公共点.

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研究曲线公共点个数,主要是依据方程组解的情况来判定,特别是直线与曲线公共点个数问题,多用判别式来研究,特别要注意的是对二次项系数是否为零要加以讨论.

变式训练

1.已知点A(0,2)和抛物线C:y2=6x,求过点A且与抛物线恰有一个公共点的直线l的方程.

答案:当l⊥x轴时,显然满足条件,此时直线l的方程为x=0,