[对应学生用书P27]

证明四点共圆 　　

　　[例1]　如图所示，在△ABC中，AB＝AC，延长CA到P，再延长AB到Q，使得AP＝BQ.求证：△ABC的外心O与A，P，Q四点共圆．

　　[思路点拨]　本题主要考查四点共圆的判断．解题时，先连接OA，OC，OP，OQ，PQ.要证O，A，P，Q四点共圆，只需证∠CAO＝∠OQP即可，为此只要证△CPO≌△AQO即可．

　　[精解详析]　如图，连接OA，OC，OP，OQ，PQ.

　　在△OCP和△OAQ中，OC＝OA，

　　∴∠OCP＝∠OAC.

　　由已知CA＝AB，AP＝BQ，

　　∴CP＝AQ.

　　又O是等腰△ABC的外心且AB＝AC，

　　∴∠OAC＝∠OAQ，

　　∴∠OCP＝∠OAQ.

　　∴△OCP≌△OAQ.∴∠APO＝∠AQO，OP＝OQ.

　　∴∠OPQ＝∠OQP.

　　∴∠CAO＝∠BAC

　　＝(∠APQ＋∠PQA)

　　＝(∠OPQ＋∠APO＋∠OQP－∠AQO)

　　＝×2∠OQP＝∠OQP.

　　∴O，A，P，Q四点共圆．

　　判定四点共圆的方法：

　　(1)如果四个点与一定点距离相等，那么这四个点共圆．

　　(2)如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．

(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．