(3)求夹角问题，利用

(4)求线段的长度，可以利用或

【典型例题】

类型一：平面向量数量积的运算

例1． （1）已知||=4，||=5，向量与的夹角为，求①·；②(+)2；③2―2；④(2+3)·(3―2)；

　　（2）若向量++=0，且||=3，||=1，||=4，求·+·+·的值。

　　【思路点拨】（1）(+)2=，(2+3)·(3―2)=6||2+5·―6||2 把模和数量积代入可得。（2）(++)2=2+2+c2+2(·+·+·)，把模和数量积代入可得。

　　【答案】（1）10 61 －9 ―4（2）―13

　　【解析】 （1）①。

　　②(+)2=||2+2·+||2=61。

　　③2―2=||2―||2=－9。

　　④(2+3)·(3―2)=6||2+5·―6||2=―4。

　　（2）∵(++)2=2+2+2+2(·+·+·)，

　　∴。

　　【总结升华】（1）此类题目要充分利用有关的运算法则将其转化为求数量积及模的问题，特别要灵活应用2=||2。

　　（2）在解题中，利用了(++)2=2+2+c2+2(·+·+·)这一关系式，类似于实数的运算。

举一反三：

【变式1】已知||=5，||=4，〈，〉=，求（+）·.

【答案】35

【解析】

原式=