例1、已知直线和平面,如果,且,求证。
解析:让学生理解反证法的严密性和合理性;
证明:因为,
所以经过直线a , b 确定一个平面。
因为,而,
所以 与是两个不同的平面.
因为,且,
所以.
下面用反证法证明直线a与平面没有公共点.假设直线a 与平面有公共点,则,即点是直线 a 与b的公共点,这与矛盾.所以 .
点评:用反证法的基本步骤:
第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论;
第二步 作出与所证不等式相反的假定;
第三步 从条件和假定出发,应用证确的推理方法,推出矛盾结果;
第四步 断定产生矛盾结果的原因,在于开始所作的假定不正确,于是原证不等利
变式训练1.求证:圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平分.
例2、求证:不是有理数
解析:直接证明一个数是无理数比较困难,我们采用反证法.假设不是无理数,那么它就是有理数.我们知道,任一有理数都可以写成形如(互质, "的形式.下面我们看看能否由此推出矛盾.
证明:假设不是无理数,那么它就是有理数.于是,存在互质的正整数,使得,从而有,
因此,,
所以 m 为偶数.于是可设 ( k 是正整数),从而有
,即
所以n也为偶数.这与 m , n 互质矛盾!
由上述矛盾可知假设错误,从而是无理数.
点评:反证法是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后,从这个假设出发,经过正确的推理,导致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯定原命题正