第2课时　函数的最值

　　1．理解函数最值的定义，知道最值是函数定义域上的一个整体性质．

　　2．会求一些简单函数的最值．

　　3．了解函数最值与函数单调性的关系．

　　1．最大值

　　一般地，设y＝f(x)的定义域为A．

　　若存在定值x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)恒成立，则称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为ymax＝f(x0)．

　　【做一做1】函数y＝－x2＋5的最大值为________．

　　答案：5

　　2．最小值

　　一般地，设y＝f(x)的定义域为A．

　　若存在定值x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)恒成立，则称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为ymin＝f(x0)．

　　【做一做2】函数y＝3x＋1，x∈［1,4］的最小值为________．

　　答案：4

　　3．函数的最大值和最小值统称为函数的最值．

　　(1)函数的值域是指函数值的集合．函数最大(小)值一定是值域中的元素．如果值域是一个闭区间，那么函数的最大(小)值就是闭区间右(左)端点的值．(2)函数的值域和最值既有区别又有联系．一般来讲，对于图象是连续不断的函数，知道函数在定义域上的最大值和最小值，可知函数的值域，而知道了函数的值域，不一定能确定最值．

　　【做一做3－1】函数y＝－3x＋1，x∈［－2,3］时的值域是__________．

　　解析：当x∈［－2,3］时，ymax＝－3×(－2)＋1＝7，ymin＝－3×3＋1＝－8．

　　答案：［－8,7］

　　【做一做3－2】函数y＝－x2－4x＋1，x∈［－3,3］的值域是__________．

　　解析：y＝－(x＋2)2＋5，当x＝－2时，y有最大值5；当x＝3时，y有最小值－20．

　　答案：［－20,5］

　　求函数最值的三种方法

　　剖析：(1)作出函数的图象，从图象直接观察可得最值；

　　(2)求出函数的值域，其边界值即为最值，此时要注意边界值能否取到(即是否存在)的问题；

　　(3)由函数的单调性求最值．

①最大值：已知函数y＝f(x)的定义域是［a，b］，a＜c＜b，当x∈［a，c］时，f(x)是单调增函数；当x∈［c，b］时，f(x)是单调减函数，则f(x)在x＝c时取得最大值．