师：事实上在实数范围内x和y确实不存在？为什么会这样呢？假设x和y是存在的，那么就肯定是一些不是实数的数，那么，这些数是什么呢？我们能不能解决这个问题呢？这就是我们今天要学习的内容《数系的扩充和复数的引入》

（二）回顾数系的扩充历程

原因1 原因2 规律 自然数（N） 计数 1、实际需要、运算矛盾

2、引入新数解决问题，运算保持，运算律不变 整数（Z） 具有相反意义的量 减法在N不能完全运算 有理数（Q） 测量，分配 除法在Z不能完全运算 实数（R） 单位正方形对角线长 开平方在Q不能完全运算 师：其实对于这种"数不够用"的情况，我们并不陌生。大家记得吗？从小学到现在，我们一直在经历着数的不断扩充。现在就让我们来回顾一下，看看我们以前是怎么解决"数不够用"的问题的。

（三）类比，引入新数，将实数集扩充

1、 类比数系的扩充规律，引导学生找出解决"实数不够用"这个问题的办法

生：引入新数，使得平方为负数

师：我们希望引入的数的平方为负数，但是负数有无穷多个，我们不肯能一下子引入那么多，只要引入平方为多少就行呢？

（引导学生找到，因为任何一个负数都可以写成正数与-1的乘积）

2、 历史重现：

　　在历史上数学家们碰到我们前面这个问题的时候一开始是解决不了的，导致在此问题上徘徊了百年之久，直到18世纪末，数学家才认识到解决的重要性，于是他们就像我们一样引入新的数，使得引入的数的平方等于，并把这个数记为英文字母，就是虚构、想象的意思。

3、探究复数的一般形式：

首先，我们有：（1）

（2）与实数可以做运算、并且运算律不变

师：我们不妨把添加到实数集里面成为一个新的集合A，根据的性质，我们拿两个实数a和b与任意的做加法、乘法运算，可以得到哪些数呢？

生：。