剖析：离心率e=与a,b,c之间的关系c2=a2+b2转化为e与渐近线斜率的关系,以此说明双曲线开口的大小.双曲线的离心率e==,当e越大时,越大,即渐近线夹角(含x轴)越大,故开口越大;反之,e越小,开口越小.离心率反映了双曲线开口的大小,从上面的公式中可以看出e>1.

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【例1】求一条渐近线方程是3x+4y=0,一个焦点是(4,0)的双曲线的标准方程,并求此双曲线的离心率.

解析：用双曲线的标准方程与几何性质,由渐近线方程与双曲线方程之间的关系,以及待定系数法求解.

解：因为c=4,且由渐近线方程知=,

所以解之,得a2=

所以所求双曲线方程为=1,离心率e=.

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求双曲线的标准方程,应首先根据焦点所在的坐标轴,确定方程的形式,再由待定系数法,依据其条件确定参数.本题也可以由渐近线方程3x+4y=0,设所求双曲线方程为=λ(λ≠0),由焦点坐标再确定λ即可.

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1.已知双曲线的渐近线方程是y=±x,焦距为10,求双曲线方程.

解:当焦点在x轴上时,设所求双曲线方程为=1(a>0,b>0).由渐近线方程为y=±x,得=.2c=10,由c2=a2+b2,得a2=20,b2=5.

所以双曲线方程为=1.

同理,当焦点在y轴上时,

可得双曲线方程为=1,