2019-2020学年北师大版选修2-2 定积分的概念 学案

题型一　求图形的面积问题

例1　用定积分的定义求曲线y＝x3＋1与x＝0，x＝1及y＝0所围成的曲边梯形的面积.

解　①分割：将区间[0,1]等分成n个小区间，，...，，...，，每个小区间的长度为Δx＝－＝，过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，它们的面积分别记为ΔS1，ΔS2，...，ΔSi，...，ΔSn.

②近似代替：对区间上的小曲边梯形，以区间左端点对应的函数值f ＝3＋1为一边的长，以Δx＝为邻边的长的小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，即ΔSi≈f Δx＝.

③求和：Sn＝ΔS1＋ΔS2＋...＋ΔSn＝Si≈Δx＝

＝[03＋13＋23＋...＋(n－1)3]＋1

＝·＋1＝＋1.

④取极限：当n→∞时，Sn趋近于，

即S＝Sn＝.

所以曲边梯形的面积是.

反思与感悟　对图形进行分割实现了把求不规则的图形面积化归为矩形面积，但这仅是近似值，分割得越细，近似程度就会越高，这就是"以直代曲"方法的应用.

跟踪训练1　求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形的面积.

解　(1)分割：

将曲边梯形分成n个小曲边梯形，用分点，，...，把区间[0,1]等分成n个小区间