第3课时　用数学归纳法证明整除问题、几何问题

学习目标　1.进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明整除问题、几何问题等数学命题的方法.2.掌握证明n＝k＋1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等．

知识点一　归纳法

归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明．

知识点二　数学归纳法

1．应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些与正整数n有关的数学命题．

2．基本要求：它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可．

3．注意点：在第二步归纳递推时，从n＝k到n＝k＋1必须用上归纳假设．

类型一　整除问题

例1　求证：当n∈N*时，an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除．

证明　①当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立．

②假设当n＝k(k∈N*)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，

ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1

＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1

＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.

由归纳假设，上式中的两项均能被a2＋a＋1整除，

故当n＝k＋1时，命题成立．

由①②知，对任意n∈N*，命题成立．

反思与感悟　证明整除性问题的关键是"凑项"，先采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑成当n＝k时的情形，再利用归纳假设使问题获证．

跟踪训练1　用数学归纳法证明(3n＋1)·7n－1(n∈N*)能被9整除．

证明　①当n＝1时，4×7－1＝27，能被9整除．

②假设当n＝k (k∈N*)时，命题成立，

即(3k＋1)·7k－1能被9整除，

则当n＝k＋1时，(3k＋4)·7k＋1－1＝7·(3k＋1)·7k＋21·7k－1＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋6·7k