一、点、直线、平面的位置的向量表示

1. 思考：如何确定一个点在空间的位置？

　　如图，在空间中，我们取一点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量来表示．称向量为点的位置向量。

2. 思考：在空间中给定一个定点A和一个定方向（向量），能确定一条直线在空间的位置吗？

如图，点A和 不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示出l上的任意一点P。

3. 思考：给定一个定点和两个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？

如图，点O和 、 不仅可以确定平面的位置，还可以具体表示出 内的任意一点P.

4.思考：给定一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？

法向量：若，则 叫做平面 的法向量。

如图，过点A，以为法向量的平面是完全确定的.

二、线线、线面、面面间的位置关系与向量运算的关系

设直线l、m的方向向量分别为、，平面的法向量分别为.

探究1：平行关系

1,线线平行:

2,线面平行:

3,面面平行:

探究2：垂直关系

1,线线垂直:

2,线面垂直:

3,面面垂直:

探究3：夹角

1,线线夹角:

2,线面夹角:

3，面面夹角：

1．设直线l，m的方向向量分别为，根据下列条件判断l，m的位置关系：

　　答案：（1）平行；（2）垂直；（3）平行。

2.设平面的法向量分别为，根据下列条件判断平面的位置关系：

　　答案：（1）垂直；（2）平行；（3）相交，交角的余弦为。

　　1．已知点是平行四边形所在平面外一点，如果，，

（1）求证：是平面的法向量；

（2）求平行四边形的面积．

（1）证明：∵，

，

∴，，又，平面，

∴是平面的法向量．

（2），，

　　∴，

　　∴，

∴，

∴．