2．过不在曲线y＝f(x)上一点(x1，y1)的切线的求法步骤．

(1)设切点为P0(x0，y0)，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)；

(2)建立方程组

(3)解方程组得k，x0，y0，从而写出切线方程．

跟踪训练1　求函数y＝x3－3x2＋x的图象上过原点的切线方程．

解　设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝x－3x＋x0，

∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)

＝(x0＋Δx)3－3(x0＋Δx)2＋(x0＋Δx)－(x－3x＋x0)

＝3xΔx＋3x0(Δx)2－6x0Δx＋(Δx)3－3(Δx)2＋Δx，

∴＝3x＋3x0Δx－6x0＋1＋(Δx)2－3Δx，

∴f′(x0)＝li ＝3x－6x0＋1.

∴切线方程为y－(x－3x＋x0)＝(3x－6x0＋1)·(x－x0)．

∵切线过原点，∴x－3x＋x0＝3x－6x＋x0，

即2x－3x＝0，∴x0＝0或x0＝，

故所求切线方程为x－y＝0或5x＋4y＝0.

类型二　求切点坐标

例2　已知抛物线y＝2x2＋1分别满足下列条件，求出切点的坐标．

(1)切线的倾斜角为45°；

(2)切线平行于直线4x－y－2＝0；

(3)切线垂直于直线x＋8y－3＝0.

解　设切点坐标为(x0，y0)，

则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1

＝4x0·Δx＋2(Δx)2，

∴＝4x0＋2Δx，

当Δx→0时，→4x0，即f′(x0)＝4x0.

(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，

∴斜率为tan 45°＝1，