=[(1)2+()2+...+()2]≥
2=n2,
∴++...+≥.
柯西不等式的结构特征可以记为:
(a1+a2+...+an)·(b1+b2+...+bn)≥(+
+...+)2.
其中ai,bi∈R+(i=1,2,...,n),在使用柯西不等式时要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征,正确地配凑出公式两侧的数是解决问题的关键.
1.已知a,b,c,d∈R+,且a+b+c=1,求证:++≤3.
证明:根据柯西不等式,有
(++)2≤
(1+1+1)(3a+1+3b+1+3c+1)=18,
∴++≤3.
利用柯西不等式求最值
[例2] (1)已知x,y,z∈R+,且x+y+z=1.
求 + + 的最小值.
(2)设2x+3y+5z=29.
求函数μ=++的最大值.
[思路点拨] (1)利用++=(x+y+z).
(2)利用(++)2=
1×+1×+1×)2.
[解] (1)∵x+y+z=1,