2017-2018学年人教B版选修4-5 2.1 一般形式的柯西不等式 学案
2017-2018学年人教B版选修4-5   2.1  一般形式的柯西不等式  学案第2页

  =[(1)2+()2+...+()2]≥

  2=n2,

  ∴++...+≥.

  

  柯西不等式的结构特征可以记为:

  (a1+a2+...+an)·(b1+b2+...+bn)≥(+

  +...+)2.

  其中ai,bi∈R+(i=1,2,...,n),在使用柯西不等式时要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征,正确地配凑出公式两侧的数是解决问题的关键.

  

  

  

  1.已知a,b,c,d∈R+,且a+b+c=1,求证:++≤3.

  证明:根据柯西不等式,有

  (++)2≤

  (1+1+1)(3a+1+3b+1+3c+1)=18,

  ∴++≤3.

  

利用柯西不等式求最值   

  [例2] (1)已知x,y,z∈R+,且x+y+z=1.

  求 + + 的最小值.

  (2)设2x+3y+5z=29.

  求函数μ=++的最大值.

  [思路点拨] (1)利用++=(x+y+z).

  (2)利用(++)2=

  1×+1×+1×)2.

[解] (1)∵x+y+z=1,