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类型二　导数运算法则的综合应用

例2　(1)已知函数f(x)＝＋2xf′(1)，试比较f(e)与f(1)的大小关系；

(2)设f(x)＝(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x，试确定常数a，b，c，d，使得f′(x)＝xcos x.

考点　导数的应用

题点　导数的应用

解　(1)由题意得f′(x)＝＋2f′(1)，

令x＝1，得f′(1)＝＋2f′(1)，即f′(1)＝－1.

所以f(x)＝－2x，得f(e)＝－2e＝－2e，

f(1)＝－2，

由f(e)－f(1)＝－2e＋2<0，得f(e)

(2)由已知f′(x)＝[(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x]′

＝[(ax＋b)sin x]′＋[(cx＋d)cos x]′

＝(ax＋b)′sin x＋(ax＋b)(sin x)′＋(cx＋d)′cos x＋(cx＋d)(cos x)′

＝asin x＋(ax＋b)cos x＋ccos x－(cx＋d)sin x

＝(a－cx－d)sin x＋(ax＋b＋c)cos x.

又∵f′(x)＝xcos x，

∴即

解得a＝d＝1，b＝c＝0.