①

　　 －1≤a≤1，

∵对x∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f＇(-1)=0以及当a=－1时，f＇(1)=0

　　∴A={a|－1≤a≤1}.

　　（2）由=，得x2－ax－2=0， ∵△=a2+8>0

　　∴x1，x2是方程x2－ax－2=0的两非零实根，

　　 x1+x2=a，

　　∴ 从而|x1－x2|==.

　　　　　　　　　x1x2=－2，

　　∵－1≤a≤1，∴|x1-x2|=≤3.

　　要使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，

　　当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈[－1，1]恒成立，

　　即m2+tm－2≥0对任意t∈[－1，1]恒成立. ②

　　设g(t)=m2+tm－2=mt+(m2－2)，

　　方法一：

　　 g(－1)=m2－m－2≥0，

　　②

g(1)=m2+m－2≥0，

　　　m≥2或m≤－2.

所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.

　　方法二：

　　当m=0时，②显然不成立；

　　当m≠0时，

　 m>0， m<0，

　　② 或

g(－1)=m2－m－2≥0 g(1)=m2+m－2≥0

　　　 m≥2或m≤－2.

所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.

【点晴】利用导数研究函数的单调性和最值.在解决函数综合问题时要灵活运用数学思想和方法化归为基本问题来解决.

变式：设函数，其中

（1）解不等式

（2）求的取值范围，使在区间上是单调减函数。