A⊆B p(x)⇒q(x) A⊇B q(x)⇒p(x) A＝B p(x)⇔q(x) 3.∅与其它集合之间的关系

(1)∅是任意一个集合的子集；

(2)∅是任意一个非空集合的真子集.

要点一　有限集合的子集确定问题

例1　写出集合A＝{1,2,3}的所有子集和真子集.

解　由0个元素构成的子集：∅；

由1个元素构成的子集：{1}，{2}，{3}；

由2个元素构成的子集：{1,2}，{1,3}，{2,3}；

由3个元素构成的子集：{1,2,3}.

由此得集合A的所有子集为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}.

在上述子集中，除去集合A本身，即{1,2,3}，剩下的都是A的真子集.

规律方法　1.求解有限集合的子集问题，关键有三点：

(1)确定所求集合；

(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；

(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身.

2.一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.

跟踪演练1　已知集合M满足{2,3}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，求集合M及其个数.

解　当M中含有两个元素时，M为{2,3}；

当M中含有三个元素时，M为{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}；

当M中含有四个元素时，M为{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}；

当M中含有五个元素时，M为{2,3,1,4,5}；

所以满足条件的集合M为{2,3}，{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}，{2,3,1,4,5}，集合M的个数为8.

要点二　集合间关系的判定

例2　指出下列各对集合之间的关系：

(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；

(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；

(3)A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}；