命题点1　证明不等式

典例 (2017·贵阳模拟)已知函数f(x)＝1－，g(x)＝x－ln x.

(1)证明：g(x)≥1；

(2)证明：(x－ln x)f(x)>1－.

证明　(1)由题意得g′(x)＝(x>0)，

当0

当x>1时，g′(x)>0，

即g(x)在(0,1)上是减少的，在(1，＋∞)上是增加的．

所以g(x)≥g(1)＝1，得证．

(2)由f(x)＝1－，得f′(x)＝，

所以当02时，f′(x)>0，

即f(x)在(0,2)上是减少的，在(2，＋∞)上是增加的，

所以f(x)≥f(2)＝1－(当且仅当x＝2时取等号)．①

又由(1)知x－ln x≥1(当且仅当x＝1时取等号)，②

且①②等号不同时取得，

所以(x－ln x)f(x)>1－.

命题点2　不等式恒成立或有解问题

典例 (2018·大同模拟)已知函数f(x)＝.

(1)若函数f(x)在区间上存在极值，求正实数a的取值范围；

(2)如果当x≥1时，不等式f(x)≥恒成立，求实数k的取值范围．

解　(1)函数的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝＝－，