1．3.3　导数的实际应用

　　问题：将8分成两个非负数之和，使其立方和最小，应该怎么分？

　　提示：设一个数为x，则另一个数为8－x，则其立方和

　　y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x2，且0≤x≤8，

　　y′＝48x－192.

　　令y′＝0，即48x－192＝0，得x＝4.

　　当0≤x<4时y′<0，当40，

　　∴当x＝4时，y最小．

　　即分成的这两个数应为4,4.

　　最优化问题

　　在经济生活中，为使经济利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些都是最优化问题．

　　解决最优化问题的基本步骤

　　(1)分析实际问题中各量之间的关系，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；

　　(2)求导函数f′(x)，解方程f′(x)＝0；

　　(3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小，最大的一个为最大值，最小的一个为最小值；

　　(4)依据实际问题的意义给出答案．

长度、面积与容积的最值问题 　　

　　[例1]　在高为H、底面半径为R的圆锥内作一个内接圆柱，当圆柱底面半径r为多大时，圆柱的体积最大？

　　[思路点拨]　建立关于圆柱底面半径r、高h的函数关系式是解题的关键．

[解]　设圆柱底面半径为r、高为h、体积为V，