∵sinθ、cosθ是方程x2-kx+k+1=0的两实数根，

∴

∵(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ，

∴k2=1+2(k+1)，即k2-2k-3=0.

∴k=-1或k=3(舍去).

解方程组

得或

∵θ∈［0，2π)，∴θ=π或θ=.

例3 已知tanα=2，则的值为( )

A. B. C.3 D.5

思路解析:考查同角三角函数基本关系式的应用.

∵tanα=2，∴cosα≠0.

∴==3.

答案:C

绿色通道:(1)已知tanα=m，求关于sinα、cosα的齐次式之值的问题，需注意以下几点：

①解决此类问题的策略是先化简再求值(用tanα来表示)；

②一定是关于sinα、cosα的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；

③因为cosα≠0，可用cosnα(n∈N*)去除原式分子、分母的各项，这样可以将原式化为关于tanα的表达式，再整体代入tanα=m的值，从而完成求值任务；

(2)形如或的分式，分子、分母同时除以cosα、cos2α，将正、余弦转化为正切，从而求值.

(3)同角三角函数基本关系式的应用：化简三角函数式.

黑色陷阱:如果先求出sinα和cosα的值，那么运算量会很大，问题就会变得很烦琐.

变式训练 1已知tanα=，π＜α＜，则cosα-sinα的值为( )

A.- B. C. D.

思路解析:求出α的值，即可得解.∵tanα=，π＜α＜，∴α=.

∴cosα-sinα=cos-sin=.