§2微积分基本定理

　　已知函数f(x)＝x，F(x)＝x2.

　　问题1：f(x) 和F(x)有何关系？

　　提示：F′(x)＝f(x)．

　　问题2：利用定积分的几何意义求xdx的值．

　　提示：xdx＝.

　　问题3：求F(2)－F(1)的值．

　　提示：F(2)－F(1)＝×22－×12＝.

　　问题4：你得出什么结论？

　　提示：f(x)dx＝F(2)－F(1)，且F′(x)＝f(x)．

　　问题5：由f(x)dx与F(2)－F(1)之间的关系，你认为导数与定积分之间有什么联系？

　　提示：f(x)dx＝F(b)－F(a)，其中F′(x)＝f(x)．

　　微积分基本定理

　　如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)＝F′(x)，则有

　　定理中的式子称为牛顿-莱布尼茨公式，通常称F(x)是f(x)的一个原函数．

　　在计算定积分时，常常用记号F(x)来表示F(b)－F(a)，于是牛顿-莱布尼茨公式也可写作

　　f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a)．

　　微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的关系，即求定积分与求导互为逆运算，求定积分时只需找到导函数的一个原函数，就可以代入公式求出定积分．