2019-2020学年北师大版选修2-2 合情推理与演绎推理 教案

典例精析

题型一　运用归纳推理发现一般性结论

【例1】 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假.

sin215°＋sin275°＋sin2135°＝；

sin230°＋sin290°＋sin2150°＝；

sin245°＋sin2105°＋sin2165°＝；

sin260°＋sin2120°＋sin2180°＝.

【解析】猜想：sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝.

左边＝(sin αcos 60°－cos αsin 60°)2＋sin2α＋(sin αcos 60°＋cos αsin 60°)2＝(sin2α＋cos2α)＝＝右边.

【点拨】先猜后证是一种常见题型；归纳推理的一些常见形式：一是"具有共同特征型"，二是"递推型"，三是"循环型"(周期性).

【变式训练1】设直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有a＋b＜c＋h成立，某同学通过类比得到如下四个结论：

①a2＋b2＞c2＋h2；②a3＋b3＜c3＋h3；③a4＋b4＜c4＋h4；④a5＋b5＞c5＋h5.

其中正确结论的序号是　　　　　　　；

进一步类比得到的一般结论是　　　　　　 　　　　　　　.

【解析】②③；an＋bn＜cn＋hn(n∈N*).

题型二　运用类比推理拓展新知识

【例2】 请用类比推理完成下表：

平面 空间 三角形两边之和大于第三边 三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积 三角形的面积等于任意一边的长度与这边上的高的乘积的一半 三棱锥的体积等于任意一个底面的面积与该底面上的高的乘积的三分之一 三角形的面积等于其内切圆半径与三角形周长的乘积的一半 【解析】 本题由已知的前两组类比可得到如下信息：

①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；②三角形各边的边长与三棱锥各面的面积是类比对象；③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象；④三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；⑤三角形的面积公式中的"二分之一"与三棱锥的体积公式中的"三分之一"是类比对象.

由以上分析可知：