求可导函数极值的步骤

（1）求导数 fʹ(x) ；

（2）求方程 fʹ(x)=0 的根；

（3）检查 fʹ(x) 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f(x) 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x) 在这个根处取得极小值．

精选例题

利用导数求函数的极值

1. 函数 f(x)=-1/3 x^3+1/2 x^2+2x 取得极小值时，x 的值是 ．

【答案】 -1

【分析】 fʹ(x)=-x^2+x+2=-(x-2)(x+1)，

令 fʹ(x)>0，得 -1

令 fʹ(x)<0，得 x<-1 或 x>2．

所以函数 f(x) 在 (-∞,-1)，(2,+∞) 上递减，在 (-1,2) 上递增．

所以当 x=-1 时，函数 f(x) 取得极小值．

2. 若 x=-1 时，函数 f(x)=x^3+ax^2+bx+b^2 有极值 8，则 a+b 值的为 ．

【答案】 -9/4

3. 已知函数 f(x)=x^3+ax 在 R 上有两个极值点，则实数 a 的取值范围是 ．

【答案】 (-∞,0)

【分析】 fʹ(x)=3x^2+a，由题意可知 fʹ(x)=0 有两个不等的根，

所以 a<0．

4. 已知函数 f(x)=x^3+2x^2-ax+1 在区间 (-1,1) 上恰有一个极值点，则实数 a 的取值范围是 ．

【答案】 [-1,7)

5. 已知函数 f(x)=-x^3+ax^2-4 在 x=2 处取得极值，若 m∈[-1,1]，则 f(m) 的最小值为 ．