又由f′(x)＝－x＞0，且x∈[0,2]，得知函数f(x)的单调递增区间是(0,1)，同理， 得知函数f(x)的单调递减区间是(1,2)，所以f(1)＝ln 2－为函数f(x)的极大值.又因为f(0)＝0，f(2)＝ln 3－1＞0，f (1)＞f(2)，所以， f(0)＝0为函数f(x)在[0,2]上的最小值，f(1)＝ln 2－为函数f(x)在[0,2]上的最大值.

【点拨】求函数f(x)在某闭区间[a，b]上的最值，首先需求函数f(x)在开区间(a，b)内的极值，然后，将f(x)的各个极值与f(x)在闭区间上的端点的函数值f(a)、f(b)比较，才能得出函数f(x)在[a，b]上的最值.

【变式训练3】(2008江苏)f(x)＝ax3－3x＋1对x∈[－1,1]总有f(x)≥0成立，则a＝　　　.

【解析】若x＝0，则无论a为何值，f(x)≥0恒成立.

当x∈(0,1]时，f(x)≥0可以化为a≥－，

设g(x)＝－，则g′(x)＝，

x∈(0，)时，g′(x)＞0，x∈(，1]时，g′(x)＜0.

因此g(x)max＝g()＝4，所以a≥4.

当x∈[－1,0)时，f(x)≥0可以化为

a≤－，此时g′(x)＝＞0，

g(x)min＝g(－1)＝4，所以a≤4.

综上可知，a＝4.

总结提高

1.求函数单调区间的步骤是：

(1)确定函数f(x)的定义域D；

(2)求导数f′(x)；

(3)根据f′(x)＞0，且x∈D，求得函数f(x)的单调递增区间；根据f′(x)＜0，且x∈D，求得函数f(x)的单调递减区间.

2.求函数极值的步骤是：

(1)求导数f′(x)；

(2)求方程f′(x)＝0的根；

(3)判断f′(x)在方程根左右的值的符号，确定f(x)在这个根处取极大值还是取极小值.

3.求函数最值的步骤是：

先求f(x)在(a，b)内的极值；再将f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.