【例1】　如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．

　　(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；

　　(2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD.

　　[解]　(1)如题图，在△ABD中，

　　∵EH是△ABD的中位线，

　　∴EH∥BD，EH＝BD.

　　又FG是△CBD的中位线，

　　∴FG∥BD，FG＝BD，

　　∴FG∥EH，∴E，F，G，H四点共面，又FG＝EH，

　　∴四边形EFGH是平行四边形．

　　(2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.又∵四边形EFGH是矩形，∴EH⊥GH，∴AC⊥BD.

　　空间中证明两直线平行的方法：

　　1借助平面几何知识证明，如三角形中位线性质、平行四边形的性质、用成比例线段证平行等.

　　2利用公理4证明，即证明两直线都与第三条直线平行.

　　1.已知在棱长为a的正方体ABCD­A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点．

　　求证：四边形MNA′C′是梯形．

　　[解]　连接AC(图略)．

　　∵M，N为CD，AD的中点，∴MN綊AC.

　　由正方体性质可知AC綊A′C′，

∴MN綊A′C′，∴四边形MNA′C′是梯形．