2019-2020学年北师大版选修2-2 导数在不等式中的应用 教案

考点一　构造函数证明不等式

【例1】 已知函数f(x)＝1－，g(x)＝x－ln x.

(1)证明：g(x)≥1；

(2)证明：(x－ln x)f(x)>1－.

证明　(1)由题意得g′(x)＝(x>0)，

当01时，g′(x)>0，

即g(x)在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数.

所以g(x)≥g(1)＝1，得证.

(2)由f(x)＝1－，得f′(x)＝，

所以当02时，f′(x)>0，

即f(x)在(0，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，

所以f(x)≥f(2)＝1－(当且仅当x＝2时取等号).①

又由(1)知x－ln x≥1(当且仅当x＝1时取等号)，②

且①②等号不同时取得，

所以(x－ln x)f(x)>1－.

规律方法　1.证明不等式的基本方法：

(1)利用单调性：若f(x)在[a，b]上是增函数，则①任意x∈[a，b]，有f(a)≤f(x)≤f(b)，②任意x1，x2∈[a，b]，且x1

(2)利用最值：若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，则任意x∈D，有f(x)≤M(或f(x)≥m).

2.证明f(x)

【训练1】 已知函数f(x)＝在点(－1，f(－1))处的切线方程为x＋y＋3＝0.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)设g(x)＝ln x，求证：g(x)≥f(x)在[1，＋∞)上恒成立.

(1)解　将x＝－1代入切线方程得y＝－2，

所以f(－1)＝＝－2，化简得b－a＝－4.①