例3已知△ABC的三边长a，b，c的倒数成等差数列，求证：∠B＜90°.

　　【精彩点拨】　本题中的条件是三边间的关系＝＋，而要证明的是∠B与90°的大小关系．结论与条件之间的关系不明显，考虑用反证法证明．

　　【自主解答】　∵a，b，c的倒数成等差数列，∴＝＋.假设∠B＜90°不成立，即∠B≥90°，则∠B是三角形的最大内角，在三角形中，有大角对大边，

　　∴b＞a＞0，b＞c＞0，

　　∴＜，＜，∴＜＋，

　　这与＝＋相矛盾．

　　∴假设不成立，故∠B＜90°成立．

　　规律总结：

　　1．本题中从否定结论进行推理，即把结论的反面"∠B≥90°"作为条件进行推证是关键．要注意否定方法，"＞"否定为"≤"，"＜"否定为"≥"等．

　　2．利用反证法证题的关键是利用假设和条件通过正确推理，推出和已知条件或定理事实或假设相矛盾的结论．[来源:学科网]

　　[再练一题]

　　3．若a3＋b3＝2，求证：a＋b≤2.

　　【证明】　法一　假设a＋b>2，

　　a2－ab＋b2＝＋b2≥0，

　　故取等号的条件为a＝b＝0，显然不成立，

　　∴a2－ab＋b2>0.

　　则a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)>2(a2－ab＋b2)，

　　而a3＋b3＝2，故a2－ab＋b2<1，

　　∴1＋ab>a2＋b2≥2ab，从而ab<1，

　　∴a2＋b2<1＋ab<2，

　　∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab<2＋2ab<4，

　　∴a＋b<2.

　　这与假设矛盾，故a＋b≤2.

　　法二　假设a＋b>2，则a>2－b，

　　故2＝a3＋b3>(2－b)3＋b3，

即2>8－12b＋6b2，即(b－1)2<0，