目:高二数 授课时间：第16周 星期 三

单元（章节）课题 第二章 函数 本节课题 1 函数的含义与表示 三维目标 知识与技能：函数的定义域、值域、解析式的求法，分段函数的简单应用．

过程与方法： 通过实例，深刻体会函数的含义与表示。

情感,态度与价值观： 换元法、待定系数法等数学思想方法的运用。 提炼的课题 学 集合的含义与表示 教学重难点 重点：函数的含义与表示

难点： 换元法、待定系数法等应用 教 过 程 一、 复习引入：

1．函数的概念

(1)函数的定义：

设是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中的每一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数，通常记为。（即一个x只能对应一个y，但一个y可以对应多个x。）

(2)函数的定义域、值域

在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合称为数的值域。

(3)函数的三要素：定义域、值域和对应法则

2．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法

（1）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；

（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；

(3) 解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。

3．分段函数

在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。 | |X|X|

4．求函数定义域的常用方法：无论什么函数，优先考虑定义域

（1）定义域是函数y=f(x)中的自变量x的范围，要求：

①分母不为零 。 ②偶次根式的被开方数非负。

③对数中的真数部分大于0。 ④指数、对数的底数大于0，且不等于1

⑤y=tanx中x≠ π+π/2。 ⑥中x

（2）复合函数的定义域：定义域是x的范围，的作用范围不变。

5.求函数解析式的方法：

（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；

（2）若已知复合函数的解析式，则可用换元法或配凑法；

（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出

二、 典例精讲

考点解读

考点1 求函数的定义域

　　求函数定义域的主要依据是：(1)分式的分母不能为零；(2)偶次方根的被开方式其值非负；(3)对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.

考点2 求函数的解析式

　　求函数解析式的方法主要有：(1)代入法；(2)换元法；(3)待定系数法；(4)解函数方程等．

考点3 分段函数

　　分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题，

考点突破

考点1 求函数的定义域

典例1 求下列函数的定义域：

(1)f(x)＝； (2)f(x)＝.

解题思路 理解各代数式有意义的前提，列不等式解得

解题过程 (1)要使函数f(x)有意义，必须且只须

解不等式组得x≥3，因此函数f(x)的定义域为[3，＋∞)．

(2)要使函数有意义，必须且只须

即解得：－1

易错点拨 求函数的定义域的时候一定要注意以下的限制条件：(1)分式的分母不能为零；(2)偶次方根的被开方式其值非负；(3)对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.

变式1 (1)已知f(x)的定义域为，求函数y＝f的定义域；

(2)已知函数f(3－2x)的定义域为[－1,2 ，求f(x)的定义域．

点拨 分清自变量和中间变量各自的取值范围。

答案 (1)令x2－x－＝t，知f(t)的定义域为，∴－≤x2－x－≤，

整理得⇒

∴所求函数的定义域为∪.

(2)用换元思想，令3－2x＝t，f(t)的定义域即为f(x)的定义域，

∵t＝3－2x(x∈[－1,2 )，∴－1≤t≤5，故f(x)的定义域为[－1,5 ．

考点2 求函数的解析式

典例1 (1)已知，求f(x)；

(2)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求函数f(x)的解析式．

解题思路 (1)用代换法求解；(2)构造方程组求解．

解题过程 (1)令t＝＋1，则x＝，∴f(t)＝lg ，即f(x)＝lg .

(2)x∈(－1,1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．①

以－x代x得，2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．②

由①②消去f(－x)得f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1,1)．

易错点拨 注意自变量和中间变量的问题。

变式1 (1)已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，试求f(x)的表达式．

(2)已知f(x)＋2f()＝2x＋1，求f(x)．

点拨 （1）可考虑使用待定系数法，（2）中可以带入特殊的变量，通过两个方程的加减得出的表达式。

答案 (1)由题意可设f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，则

a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1

ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1

∴解得a＝，b＝. 因此f(x)＝x2＋x.

(2)由已知得消去f，得f(x)＝.

考点3 分段函数

典例3 设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是(　　)．

　　A．[－1,2 B．[0,2 C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)

解题思路 对于分段函数应分段求解，最后再求其并集．

解题过程 f(x)≤2⇔或⇔0≤x≤1或x＞1，故选D.

易错点拨 本例中，需分x≤1和x＞1时分别解得x的范围，再求其并集．

变式1 已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为_____．

点拨 分类讨论：

(1)当a＞0时，1－a＜1,1＋a＞1.这时f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a；

f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a.由f(1－a)＝f(1＋a)，得2－a＝－1－3a，

解得a＝－，不符合题意，舍去．

(2)当a＜0时，1－a＞1,1＋a＜1，

这时f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a；f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a，

由f(1－a)＝f(1＋a)，得－1－a＝2＋3a，解得a＝－.

综合(1)，(2)知a的值为－. 答案 －