【数学】2010-2011学年同步精品学案（人教A版选修2—1）：第3章§3.2 立体几何中的向量方法-302edu教育资源网

　　∴PA与BC所成角的余弦值为．

　　　正方体ABEF－DCE′F′中，M、N分别为AC、BF的中点(如图所示)，求平面MNA与平面MNB所成二面角的余弦值．

　　解　取MN的中点G，连结BG，设正方体棱长为1.

　　方法一 ∵△AMN，△BMN为等腰三角形，

　　∴AG⊥MN，BG⊥MN.

　　∴∠AGB为二面角的平面角或其补角．

　　∵AG=BG=,

　　，设〈，〉=θ，

　　2＝2＋2·＋2，

　　∴1＝()2＋2××cosθ＋()2.

　　∴cosθ＝，故所求二面角的余弦值为．

　　方法二　以B为坐标原点，BA，BE，BC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系B－xyz

　　则M(，0， )，N (,,0)，

　　中点G(，，)，

　　A(1,0,0)，B(0,0,0)，

　　由方法一知∠AGB为二面角的平面角或其补角．

　　∴＝(，－，－)，＝(，－，－)，

　　∴ cos<, >==,

故所求二面角的余弦值为．

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