＝－k(2k＋1)－(4k＋3)

　　＝－(2k2＋5k＋3)

　　＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，

　　所以n＝k＋1时等式也成立，

　　根据(1)和(2)可知，等式对任何n∈N＋都成立．

　　题型二、用数学归纳法证明整除问题

　　例2用数学归纳法证明：(3n＋1)·7n－1能被9整除(n∈N＋)．

　　【精彩点拨】　先验证n＝1时命题成立，然后再利用归纳假设证明，关键是找清f(k＋1)与f(k)的关系并设法配凑．

　　【自主解答】　(1)当n＝1时，原式＝(3×1＋1)×7－1＝27，能被9整除，命题成立．

　　(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时，(3k＋1)·7k－1能被9整除，则当n＝k＋1时，

　　[ 3(k＋1)＋1]·7k＋1－1

　　＝[21(k＋1)＋7]·7k－1

　　＝[(3k＋1)＋(18k＋27)]·7k－1

　　＝[(3k＋1)·7k－1]＋9(2k＋3)·7k.

　　∵[(3k＋1)·7k－1]和9(2k＋3)·7k都能被9整除，

　　∴[ (3k＋1)·7k－1]＋9(2k＋3)·7k能被9整除，

　　即[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1能被9整除，

　　即当n＝k＋1时命题成立．

　　由(1)(2)可知，对任何n∈N＋，命题都成立，即(3n＋1)·7n－1能被9整除(n∈N＋)．

　　规律总结：

　　1．证明本题时关键是用归纳假设式子(3k＋1)·7k－1表示n＝k＋1时的式子．

　　2．用数学归纳法证明整除问题关键是利用增项、减项、拆项、并项、因式分解等恒等变形的方法去凑假设、凑结论，从而利用归纳假设使问题获证．一般地，证明一个与n有关的式子f(n)能被一个数a(或一个代数式g(n)) 整除，主要是找到f(k＋1)与f(k)的关系，设法找到式子f1(k)，f2(k)，使得f(k＋1)＝f(k)·f1(k)＋f2(k)．

　　[再练一题]2．求证：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除.

　　【证明】　(1)当n＝1时，13＋(1＋1)3＋(1＋2)3＝36,36能被9整除，命题成立．

　　(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，

　　当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3

　　＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋k3＋3k2·3＋3k·32＋33

　　＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3)，

　　由归纳假设知，上式中两项都能被9整除，故n＝k＋1时，命题也成立．

由(1)和(2)可知，对n∈N＋命题成立.