解法三:∵+=1,

∴y+9x=xy,得(x-1)(y-9)=9.

又由条件知x>1,y>9,

∴x+y=(x-1)+(y-9)+10≥+10=16.

当且仅当x-1=y-9=3,即x=4,y=12时，x+y取最小值16.

温馨提示

解法一、解法三的技巧性较强,解法二是把目标函数化为一元函数,一元函数再变形,"求积造定和或求和造定积",难度明显降低,思路也自然些,这是解此类问题的通法.

类题演练2

若a,b,c>0且a(a+b+c)+bc=4-,则2a+b+c的最小值为( )

A.-1 B.+1

C.+2 D.-2

解析:由a(a+b+c)+bc=4-a(a+b)+(a+b)c=(a+b)(a+c)=4-.

而2a+b+c=(a+b)+(a+c)≥=-2.

当且仅当a+b=a+c,即b=c时等号成立.

答案:D

变式提升2

已知x,y∈R+,且x+y=1,求+的最小值.

解法一:0

记f(x)=+=+.

令t=2-x,

∵x∈(0,1),

∴-x∈(-1,0),t∈(1,2).

则f(x)=,

∵t∈(1,2),

∴t+.