C.e2－k2＞1 D. e2－k2＜1

题型三　有关双曲线的综合问题

【例3】(2013广东模拟)已知双曲线－y2＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是双曲线上不同的两个动点.

(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；

(2)若过点H(0，h)(h＞1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1⊥l2，求h的值.

【解析】(1)由题意知|x1|＞，A1(－，0)，A2(，0)，则有

直线A1P的方程为y＝(x＋)，①

直线A2Q的方程为y＝(x－).②

方法一：联立①②解得交点坐标为x＝，y＝，即x1＝，y1＝，③

则x≠0，|x|＜.

而点P(x1，y1)在双曲线－y2＝1上，所以－y＝1.

方法二：设点M(x，y)是A1P与A2Q的交点，①×②得y2＝(x2－2).③

代入③式整理得＋y2＝1.

因为点P，Q是双曲线上的不同两点，所以它们与点A1，A2均不重合.故点A1和A2均不在轨迹E上.过点(0,1)及A2(，0)的直线l的方程为x＋y－＝0.

解方程组得x＝，y＝0.所以直线l与双曲线只有唯一交点A2.

故轨迹E不过点(0,1).同理轨迹E也不过点(0，－1).

综上分析，轨迹E的方程为＋y2＝1，x≠0且x≠±.

(2)设过点H(0，h)的直线为y＝kx＋h(h＞1)，

联立＋y2＝1得(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0.

令Δ＝16k2h2－4(1＋2k2)(2h2－2)＝0，得h2－1－2k2＝0，

解得k1＝，k2＝－.