∴L′=(300x-25 000-)′=300-.

令L′=0，得x=6 000，当x在6 000附近左侧时，L′＞0；

当x在6 000附近右侧时L′＜0，故当x=6 000时，L取得极大值.

由于函数只有一个使L′=0的点，且函数在该点有极大值，那么函数在该点取得最大值.因此，要使利润最大，应生产6 000件产品.[]

三、导数在生活中优化问题的应用

【例3】 如图所示，水渠横断面为等腰梯形.

（1）若渠中流水的横断面积为S，水面的高为h，当水渠侧边的倾斜角Φ为多大时，才能使横断面被水浸湿的周长为最小？

（2）若被水浸湿的水渠侧边和水渠底面边长都等于a，当水渠侧边倾斜角Φ多大时，水流的横断面积为最大？

解：（1）依题意，侧边BC=h·（sinΦ）-1，设下底AB=x，则上底CD=x+2hcotΦ，

又S=（2x+2hcotΦ）h=(x+hcotΦ)h，

∴下底x=S[]h-hcotΦ,

∴横断面被水浸湿周长

l=(0＜Φ＜).

∴l′Φ=.

令l′Φ=0，解得cosΦ=,∴Φ=.

根据实际问题的意义，当Φ=时，水渠横断面被水浸湿的周长最小.

（2）设水渠高为h，水流横断面积为S，则

S=（a+a+2acosΦ）·h=(2a+2acosΦ)·asinΦ=a2(1+cosΦ)·sinΦ(0＜Φ＜π[]2).

∴S′=a2［-sin2Φ+(1+cosΦ)cosΦ］=a2(2cosФ-1)(cosΦ+1).

令S′=0，得cosΦ=或cosΦ=-1（舍），故在（0，）内，当Φ=时，水流横断面积最大，最大值为S=a2(1+cos)sin=.

各个击破

类题演练 1

已知A、B两地相距200千米，一只船从A地逆水到B地，水速为8千米/时，船在静水中的速度为v千米/时（8＜v≤v0）.若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比