即12＋32＋52＋...＋(2k－1)2＝k(4k2－1)，

则当n＝k＋1时，

12＋32＋52＋...＋(2k－1)2＋(2k＋1)2

＝k(4k2－1)＋(2k＋1)2

＝k(2k＋1)(2k－1)＋(2k＋1)2

＝(2k＋1)[k(2k－1)＋3(2k＋1)]

＝(2k＋1)(2k2＋5k＋3)

＝(2k＋1)(k＋1)(2k＋3)

＝(k＋1)(4k2＋8k＋3)

＝(k＋1)[4(k＋1)2－1]，

即当n＝k＋1时，等式成立.

由(1)(2)知，对一切x∈N*等式成立.

题型二　证明不等式问题

例2　已知{an}为等比数列且an＝2n－1，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，用数学归纳法证明对任意的n∈N*，不等式··...·＞成立.

证明　由已知条件可得bn＝2n(n∈N*)，

∴所证不等式为··...·＞.

(1)当n＝1时，左边＝，右边＝，

左边＞右边，∴不等式成立.

(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立.

即··...·＞，

则当n＝k＋1时，··...··＞·＝.