＋24 000x－50 000(x＞0)，故f′(x)＝－x2＋24 000.

令f′(x)＝0，得x1＝200，x2＝－200(舍去).

∵在(0，＋∞)内只有一个点x＝200使f′(x)＝0，且x＝200是极大值点，∴200就是最大值点，且最大值为f(200)＝－×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000(元).

∴每月生产200吨产品时，利润达到最大，最大利润为315万元.

题型二　面积、容积最值问题

例2　已知一扇窗子的形状为一个矩形和一个半圆相接，其中半圆的直径为2r，如果窗子的周长为10，求当半径r取何值时窗子的面积最大.

解　设矩形的另一边长为x，半圆弧长为πr，

∴πr＋2r＋2x＝10，∴x＝.

又S＝πr2＋2xr＝10r－r2(0＜r＜)，

∴S′＝10－(π＋4)r，

令S′＝0，得r＝，

当0＜r＜时，S′＞0，

当＜r＜时，S′＜0，

∴当r＝时，窗子的面积最大.

反思与感悟　在解决面积、体积的最值问题时，要正确引入变量，将面积或体积表示为关于变量的函数，结合使实际问题有意义的变量的范围，利用导数求函数的最值.

跟踪训练2　如图，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，|AB|＝3 m，|AD|＝2 m.

(1)要使矩形AMPN的面积大于32 m2，则AN的长应在什么范围内？