对应学生用书P29

利用柯西不等式证明不等式 　　

　　[例1]　已知θ为锐角，a，b∈R＋，求证：＋≥(a＋b)2.

　　[思路点拨]　可结合柯西不等式，将左侧构造成乘积形式，利用"1＝sin2θ＋cos2θ."然后用柯西不等式证明．

　　[证明]　∵＋

　　＝(cos2θ＋sin2θ)

　　≥2

　　＝(a＋b)2，

　　∴(a＋b)2≤＋.

　　利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件和所证不等式，把已知条件利用添项、拆项、分解、组合、配方、变量代换等，将条件构造柯西不等式的基本形式，从而利用柯西不等式证明，但应注意等号成立的条件．

　　1．已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：|ax＋by|≤1.

　　证明：由柯西不等式得

　　(ax＋by)2≤(a2＋b2)(x2＋y2)＝1，

　　∴|ax＋by|≤1.

　　2．已知a1，a2，b1，b2为正实数．

　　求证：(a1b1＋a2b2)≥(a1＋a2)2.

证明：(a1b1＋a2b2)＝[()2＋()2]≥