≥(1＋9)2＝.

　　∴原结论成立．

　　[例2]　已知x，y，z是正实数，

　　求证：＋＋≥.

　　[证明]　∵x，y，z是正实数，令

　　a＝(，，)，

　　b＝(，，)

　　∵|a·b|2≤|a|2|b|2，

　　∴2≤·[(y＋z)＋(x＋z)＋(x＋y)]，

　　即：(x＋y＋z)2≤2(x＋y＋z)．

　　∵x，y，z是正实数，∴x＋y＋z>0.

　　∴＋＋≥.

利用柯西不等式求最值 　　由于柯西不等式是求解含多个变量式子最值除平均值不等式外的一种重要方法，是某些求最值问题的唯一工具，应用的关键是根据题设条件，对目标函数进行配凑，以保证出现常数结果，同时，注意等号成立的条件．

　　[例3]　求实数x，y的值使得(y－1)2＋(x＋y－3)2＋(2x＋y－6)2达到最小值．

　　[解]　由柯西不等式，得

　　(12＋22＋12)×[(y－1)2＋(3－x－y)2＋(2x＋y－6)2]≥[1×(y－1)＋2×(3－x－y)＋1×(2x＋y－6)]2＝1，

　　即(y－1)2＋(x＋y－3)2＋(2x＋y－6)2≥，

　　当且仅当＝＝，即

　　x＝，y＝时，上式取等号．

　　故所求x＝，y＝.

[例4]　已知实数x，y，z满足x2＋4y2＋9z2＝a(a>0)，且x＋y＋z的最大值是7，求a的值．