在区间(1，＋∞)上单调递增，则a＞1.另外要保证函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增还必须满足(a－2)×1－1≤loga1＝0，即a≤3.故实数a的取值范围为2＜a≤3.

题型三　对数函数综合应用

【例3】已知函数f(x)＝loga(3－ax).

(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；

(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.

【解析】 (1)由题设知3－ax＞0对一切x∈[0,2]恒成立，a＞0，且a≠1.

因为a＞0，所以g(x)＝3－ax在[0,2]上为减函数，

从而g(2)＝3－2a＞0，所以a＜，

所以a的取值范围为(0,1)∪(1，).

(2)假设存在这样的实数a，由题设知f(1)＝1，

即loga(3－a)＝1，所以a＝，

此时f(x)＝(3－x).

当x＝2时，f(x)没有意义，故这样的实数不存在.

【点拨】这是一道探索性问题，注意函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题的处理，一般是先假设存在，再结合已知条件进行转化求解，如推出矛盾，则不存在，反之，存在性成立.

【变式训练3】给出下列四个命题：

①函数f(x)＝ln x－2＋x在区间(1，e)上存在零点；

②若f′(x0)＝0，则函数y＝f(x)在x＝x0处取得极值；

③若m≥－1，则函数y＝(x2－2x－m)的值域为R；

④"a＝1"是"函数f(x)＝在定义域上是奇函数"的充分不必要条件.

则其中正确的序号是　　　　(把全部正确命题的序号都填上).

【解析】因为f(1)＝ln 1－2＋1＝－1＜0，f(e)＝ln e－2＋e＝e－1＞0，故函数f(x)在区间(1，e)上存在零点，命题①正确；对于函数f(x)＝x3来说，f′(x)＝3x2，显然有f′(0)＝0，但f(x)在定义域上为增函数，故x＝0不是函数的极值点，命题②错误；令t＝x2－2x－m，若m≥－1，则Δ＝(－2)2－4×1×(－m)＝4＋4m≥0，所以t＝x2－2x－m可以取遍所有的正数，所以函数

y＝(x2－2x－m)的值域为R，命题③正确；由f(－x)＝－f(x)，可得＝－，解得a＝±1，即函数f(x)为奇函数的充要条件为a＝±1，故 "a＝1"是"函数f(x)＝为奇函数"的充分不必要条件，所以命题④正确.综上所述，正确的命题为①③④.

总结提高

1.熟练运用对数的运算公式是解决对数运算的基础和前提，运用对数的运算法则，要注意