探究点二　共轭复数及其应用

思考1　复数a＋bi及其共轭复数之积是实数还是虚数？

答　复数a＋bi的共轭复数表示为a－bi，由于 (a＋bi)·(a－bi)＝a2＋b2 ，所以两个共轭复数之积为实数.

思考2　共轭复数有哪些性质，这些性质有什么作用？

答　(1)在复平面上，两个共轭复数对应的点关于实轴对称.

(2)实数的共轭复数是它本身，即z＝⇔z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数.

(3)若z≠0且z＋＝0，则z为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数.

思考3　z·与|z|2和||2有什么关系？

答　z·＝|z|2＝||2.

例3　已知复数z满足|z|＝1，且(3＋4i)z是纯虚数，求z的共轭复数.

解　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi且|z|＝＝1，即a2＋b2＝1.①

因为(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i，而(3＋4i)z是纯虚数，

所以3a－4b＝0，且3b＋4a≠0.②

由①②联立，解得或

所以＝－i，或＝－＋i.

反思与感悟　本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点.

跟踪训练3　已知复数z满足：z·＋2iz＝8＋6i，求复数z的实部与虚部的和.

解　设z＝a＋bi(a，b∈R)，

则z·＝a2＋b2，

∴a2＋b2＋2i(a＋bi)＝8＋6i，

即a2＋b2－2b＋2ai＝8＋6i，

∴，解得，

∴a＋b＝4，∴复数z的实部与虚部的和是4.