所以求证式等价于＜＋＋...＋＜.

　　由柯西不等式，有

　　[(n＋1)＋(n＋2)＋...＋2n]＞n2，

　　于是，＋＋...＋

　　＞＝＝

　　≥＝，

　　又由柯西不等式，有＋＋...＋＜

　　≤＝.

　　综上，原不等式成立．

　　专题二　排序不等式的应用

　　应用排序不等式可以简捷地证明一类不等式，其证明的关键是找出两组有序数组，通常可以从函数单调性去寻找．

　　在△ABC中，试证：≤＜.

　　提示：可构造△ABC的边和角的序列，应用排序不等式 证明．

　　证明：不妨设a≤b≤c，于是A≤B≤C，由排序不等式，得：

　　aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC，

　　aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC，

　　aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC.

　　相加，得3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C)＝π(a＋b＋c)，得≥，①

　　又由0＜b＋c－a,0＜a＋b－c,0＜a＋c－b，

　　有0＜A(b＋c－a)＋C(a＋b－c)＋B(a＋c－b)

　　＝a(B＋C－A)＋b(A＋C－B)＋c(A＋B－C)

＝a(π－2A)＋b(π－2B)＋c(π－2C)