3.2.2　平面的法向量与平面的向量表示

学习目标　1.理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量.2.会用平面的法向量证明平面与平面平行、垂直.3.了解三垂线定理及其逆定理．

知识点一　平面的法向量

已知平面α，如果向量n的基线与平面α垂直，则向量n叫做平面α的法向量或说向量n与平面α正交．

知识点二　平面的向量表示

设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，则适合条件\s\up6(→(→)·n＝0的点M的集合构成的图形是过空间内一点A并且与n垂直的平面．这个式子称为一个平面的向量表示式．

知识点三　两平面平行或垂直的判定及三垂线定理

1．两平面平行或垂直的判定方法

设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则容易得到

α∥β或α与β重合⇔n1∥n2；

α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.

2．三垂线定理

如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直．

1．已知直线垂直于α，向量a平行直线l，则a是平面α的法向量．(　×　)

2．若向量n1，n2为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行．(　×　)

3．若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．(　√　)

4．直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直．(　√　)

题型一　求平面的法向量

例1　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．