＝f(x)的函数表达式.

解　∵f′(x)＝2x＋1，

∴f(x)＝x2＋x＋c(c为常数)，

又∵方程f(x)＝0有两个相等的实根，即x2＋x＋c＝0有两个相等的实根，Δ＝12－4c＝0，即c＝，

∴f(x)的表达式为f(x)＝x2＋x＋.

题型三　导数的应用

例3　求过点(1，－1)与曲线y＝x3－2x相切的直线方程.

解　设P(x0，y0)为切点，

则切线的斜率为y′＝3x－2，

故切线方程为y－y0＝(3x－2)(x－x0)，

即y－(x－2x0)＝(3x－2)(x－x0)，

又切线过点(1，－1)，

所以－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)，

解得x0＝1或x0＝－.

当x0＝1时，y0＝－1，f′(1)＝1.

当x0＝－时，y0＝，f′(－)＝－，

故所求的切线方程为

y＋1＝x－1或y－＝－(x＋).

即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.

反思与感悟　在求曲线的切线方程时，注意两个说法：①求曲线在点P处的切线方程；

②求曲线过点P的切线方程.在点P处的切线，一定是以点P为切点；过点P的切线，点P不一定是切点.

跟踪训练3　已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.

(1)求直线l2的方程；

(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积.

解　(1)y′＝2x＋1，直线l1的方程为y＝3x－3，

设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点B(b，b2＋b－2)，

则l2的方程为y＝(2b＋1)x－b2－2.

∵l1⊥l2，则有2b＋1＝－，b＝－.