探究点一　函数的单调性与导函数正负的关系

思考1　观察高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象，及运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)＝h′(t)＝－9.8t＋6.5的图象，思考运动员从起跳到最高点，从最高点到入水的运动状态有什么区别．

答　(1)从起跳到最高点，h随t的增加而增加，即h(t)是增函数，h′(t)>0；

(2)从最高点到入水，h随t的增加而减小，即h(t)是减函数，h′(t)<0.

思考2　观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？

答　(1)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝1>0，y是增函数；

(2)在区间(－∞，0)内，y′＝2x<0，y是减函数；

在区间(0，＋∞)内，y′＝2x>0，y是增函数；

(3)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝3x2≥0，y是增函数；

(4)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)内，y′＝－<0，y是减函数．

小结　一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：

在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．

思考3　若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f′(x)一定大于零吗？函数的单调区间与其定义域满足什么关系？

答　不一定．对于任意x∈(a，b)都有f′(x)≥0，且在(a，b)的任何一子区间内f′(x)恒等于零．

函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的，故单调区间是定义域的子集．