4．数学归纳法

数学归纳法原理是证明关于正整数n的命题．

步骤：(1)验证当n取第一个值n0(如n0＝1或2等)时命题正确．

(2)假设当n＝k时(k∈N＋，k≥n0)命题正确，证明当n＝k＋1时命题也正确.

类型一　利用柯西不等式证明不等式

例1　已知a，b，c，d为不全相等的正数，求证：＋＋＋＞＋＋＋.

证明　由柯西不等式知，·

≥2，

于是＋＋＋≥＋＋＋.①

等号成立⇔＝＝＝⇔＝＝＝⇔a＝b＝c＝d.

又已知a，b，c，d不全相等，则①中等号不成立．

即＋＋＋＞＋＋＋.

反思与感悟　利用柯西不等式证题的技巧

(1)柯西不等式的一般形式为(a＋a＋...＋a)·(b＋b＋...＋b)≥(a1b1＋a2b2＋...＋anbn)2(ai，bi∈R，i＝1,2，...，n)，形式简洁、美观、对称性强，灵活地运用柯西不等式，可以使一些较为困难的不等式的证明问题迎刃而解．

(2)利用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组数，并向着柯西不等式的形式进行转化，运用时要注意体会．

跟踪训练1　设a，b，c为正数且a＋b＋c＝1，求证：2＋2＋2≥.

证明　∵左边＝(12＋12＋12)·