解:(1)从第n年初到第n+1年初,鱼群的繁殖量为axn,被捕捞量为bxn,死亡量为cxn2,因此xn+1-xn=axn-bxn-cxn2,n∈N*.(*)

即xn+1=xn(a-b+1-cxn),n∈N*(**)

(2)若每年年初鱼群总量保持不变,则xn恒等于x1,n∈N*,从而由(*)式得

xn(a-b-cxn)恒等于0，n∈N*,所以a-b-cx1=0.即x1=.

因为x1＞0,所以a＞b.

猜测:当且仅当a＞b,且x1=时,每年年初鱼群的总量保持不变.

(3)若b的值使得xn＞0,n∈N*

由xn+1=xn(3-b-xn),n∈N*,知

0＜xn＜3-b,n∈N*,特别地,有0＜x1＜3-b.即0＜b＜3-x1.

而x1∈(0,2),所以b∈(0,1］

由此猜测b的最大允许值是1.

下证当x1∈(0,2),b=1时,都有xn∈(0,2),n∈N*

①当n=1时,结论显然成立.

②假设当n=k时结论成立,即xk∈(0,2),

则当n=k+1时,xk+1=xk(2-xk)＞0.

又因为xk+1=xk(2-xk)=-(xk-1)2+1≤1＜2,

所以xk+1∈(0,2),故当n=k+1时结论也成立.

由①②可知,对于任意的n∈N*,都有xn∈(0,2).

综上所述,为保证对任意x1∈(0,2),都有xn＞0,n∈N*,则捕捞强度b的最大允许值是1.

【例7】已知函数f(x)=ax-x2的最大值不大于,又当x∈［，］时，f(x)≥.

(1)求a的值;

(2)设0＜a1＜,an+1=f(an),n∈N*.证明an＜.

思路分析：本题主要考查函数和不等式的概念,考查数学归纳法,以及灵活运用数学方法分析和解决问题的能力.在用数学归纳法证明不等式的过程中,充分利用了数列递推关系式an+1=f(an)=-an2+an的函数单调性,需注意命题的递推关系式中起点位置的推移.

(1)解:由于f(x)=ax-x2的最大值不大于所以f()=≤,即a2≤1.①

又x∈［,］时f(x)≥,所以即.解得a≥1.②

由①②得a=1.

(2)证明:(i)当n=1时,0＜a1＜,不等式0＜an＜成立;

因f(x)＞0,x∈(0,),所以0＜a2=f(a1)≤＜,