＋.

　　而|m|＝

　　＝＝3.

　　又|n|＝，

　　由|m·n|≤|m||n|，得

　　∴＋＋≤3.

　　当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立．

　　【变式训练2】解　方法一：由柯西不等式，得

　　(＋＋)2＝(1×＋1×＋1×)2

　　≤(12＋12＋12)(4a＋1＋4b＋1＋4c＋1)

　　＝3[4(a＋b＋c)＋3]＝21.

　　当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．

　　故＋＋的最大值为.

　　方法二：令m＝(，，)．

　　n＝(1,1,1)，

　　则|m|＝

　　＝＝，

　　|n|＝＝.

　　m·n＝＋＋，

　　由|m·n|≤|m||n|，得

　　＋＋≤.

　　故＋＋的最大值为，当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．

　　【例3】【分析】　由于x1，x2，x3，x4的对称性，只需证明一个x，其他可以同理得到．充分利用已知的等式，将x2，x3，x4用x1表示，从而得到只含x1的式子，进一步求解．

　　【证明】　由柯西不等式，得(x2＋x3＋x4)2≤(1＋1＋1)·(x＋x＋x)．

　　由题设条件，得x2＋x3＋x4＝6－x1，

　　x＋x＋x＝12－x.

　　∴(6－x1)2≤3(12－x)．

　　∴4x－12x1≤0.

　　∴0≤x1≤3.

　　同理可证0≤xi≤3.i＝2,3,4.

【变式训练3】解　将条件改写为