直线与双曲线的位置关系

学习目标1、理解掌握直线与双曲线的位置关系及其判定

2.会处理解决直线和双曲线的位置关系的实际应用问题 1重点难点：理解掌握直线与双曲线的位置关系及其判定

2．教学难点：会处理解决直线和双曲线的位置关系的实际应用问题 方 法：自主学习 合作探究 师生互动 一\自主学习

　　如图所示，某村在P处有一堆肥，今要把此堆肥料沿道路PA或PB送到成矩形的一块田ABCD中去，已知PA＝100 m，PB＝150 m，BC＝60 m，∠APB＝60°，能否在田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送肥较近而另一侧的点则沿PB送肥较近？如果能，请说出这条界线是什么曲线，并求出它的方程．

　　2.新知识学习

　　1．直线与双曲线的位置关系

　　一般地，设直线l：y＝kx＋m(m≠0)①

　　双曲线C：－＝1(a>0，b>0)②

　　把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.

　　(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线的渐近线__________，直线与双曲线C相交于__________．

　　(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，

　　Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2) (－a2m2－a2b2)．

　　Δ>0⇒直线与双曲线有__________公共点，此时称直线与双曲线__________；

　　Δ＝0⇒直线与双曲线有__________公共点，此时称直线与双曲线__________；

　　Δ<0⇒直线与双曲线__________公共点，此时称直线与双曲线__________．

　　2．弦长公式

　　斜率为k(k≠0)的直线l与双曲线相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)，则|AB|＝__________

　　＝

　　＝|y1－y2|＝.

　　牛刀小试1．直线y＝(x－)与双曲线－y2＝1交点个数是(　　)

　　A．0 B．1　 C．2　 D．4

　　 2．过双曲线x2－＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l有(　　)

　　A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

　　3．过点P(8,1)的直线与双曲线x2－4y2＝4相交于A、B两点，且P是线段AB的中点，则直线AB的方程为_______．

　　4．(2015·黑龙江哈三中学高二期中测试)已知AB为过双曲线C的一个焦点F且垂直于实轴的弦，且|AB|为双曲线C的实轴长的2倍，则双曲线C的离心率为__________________．

　　5．(2015·福建八县一中高二期末测试)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为4，且过点(－3,2)．

　　(1)求双曲线方程和其渐近线方程；

　　(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C有且只有一个公共点，求实数k的取值范围．

【课堂研讨】

一、直线与双曲线的位置关系

　　 例1 已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，在下列条件下，求实数k的取值范围．

　　 (1)直线l与双曲线有两个公共点；

　　(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；

　　(3)直线l与双曲线没有公共点．

　　跟踪训练1过双曲线x2－＝1的左焦点F1，作倾斜角为的直线l与双曲线的交点为A、B，则|AB|＝__________________.

二、中点弦问题

　　例2、已知双曲线的方程为x2－＝1.

　　试问：是否存在被点B(1,1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程，如果不存在，请说明理由．

　　跟踪训练2、过点P(4,1)的直线l与双曲线－y2＝1相交于A、B两点，且P为AB的中点，求l的方程．

三、综合应用问题

　　例3 直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A、B.

　　(1)求实数k的取值范围；

　　(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

　　跟踪训练3已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．

　　(1)求双曲线C的方程；

　　(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围．

四、

　　例4、已知双曲线x2－＝1，过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的斜率k的值．

课外作业 班级：高一（ ）班 姓名_________

　　一、选择题

　　1．已知实数4、m、9构成一个等比数列，m为等比中项，则圆锥曲线＋y2＝1的离心率为(　　)

　　A.　　B. C.或 D.或7

　　2．等轴双曲线x2－y2＝a2与直线y＝ax(a>0)没有公共点，则a的取值范围是(　　)

　　A．a＝1 B．01 D．a≥1

　　3．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是(　　)

　　A．(－，) B．(0，) C．(－，0) D．(－，－1)

　　4．若ab≠0，则ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab所表示的曲线只可能是下图中的(　　)

　　5．已知0<θ<，则双曲线C1：－＝1与C2：－＝1的(　　)

　　A．实轴长相等B．虚轴长相等C．焦距相等 D．离心率相等

　　6．设P是双曲线－＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点．若|PF1|＝3，则|PF2|＝(　　)

　　A．1或5 B．6　 C．7　 D．9

　　二、填空题

　　7．已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－＝1交于不同的两点A、B，若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则m的值是__________________．

　　8．双曲线－＝1的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为____________________．

　　三、解答题

　　9．在平面直角坐标系xOy中，己知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.

　　(1)求圆心P的轨迹方程；

　　(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．

　　10．已知曲线C：x2－y2＝1和直线l：y＝kx－1.

　　(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；

　　(2)若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．

答案 牛刀小试1、B 2、C 3、2x－y－15＝0 4、

　　 5,[解析]　(1)由题意得，

　　解得.(2)由，得

　　(3－k2)x2－4kx－7＝0，

　　由题意得，

　　∴k2＝7，∴k＝±.

　　当直线l与双曲线C的渐近线y＝±x平行，即k＝±时，直线l与双曲线C只有一个公共点，∴k＝±或k＝±.

课外作业 一选择 1、C 2、D 3、D 4、C 5、D 6、C

　　填空 7、　　±1 8、3.2

　　解答9、[解析]　(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.

　　由题意知y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，从而得y2＋2＝x2＋3.

　　∴点P的轨迹方程为y2－x2＝1.

　　(2)设与直线y＝x平行且距离为的直线为l：x－y＋c＝0，由平行线间的距离公式得c＝±1.

　　∴l：x－y＋1＝0或x－y－1＝0.

　　与方程y2－x2＝1联立得交点坐标为A(0,1)，B(0，－1)．

　　即点P的坐标为(0,1)或(0，－1)，代入y2＋2＝r2得r2＝3.

　　∴圆P的方程为x2＋(y＋1)2＝3或x2＋(y－1)2＝3.

　　10、[解析]　(1)由，

　　得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.

　　∵直线与双曲线有两个不同的交点，

　　∴，

　　解得－

　　∴k的取值范围为(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)．

　　(2)结合(1)，设A(x1，y1)、B(x2，y2)．

　　则x1＋x2＝－，x1x2＝，

　　∴|AB|＝|x1－x2|

　　＝·

　　＝.

　　∵点O到直线l的距离d＝，

　　∴S△AOB＝|AB|d＝＝，即2k4－3k2＝0.

　　∴k＝0或k＝±.

　　∴适合题意的k的取值为0、、－. 课堂随笔:

后记与感悟: