立体几何中的向量法习题

学习目标　1.理解直线与平面所成角的概念.2.能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题.3.体会用空间向量解决立体几何问题的三步曲．

知识点　利用空间向量求空间角

思考1　空间角包括哪些角？

答案　线线角、线面角、二面角．

思考2　求解空间角常用的方法有哪些？

答案　传统方法和向量法．

梳理　空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它们相应的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解．

(1)线线角：设两条直线的方向向量分别为a，b，且a与b的夹角为φ，两条直线所成角为θ，则cos θ＝|cos_φ|＝.

(2)线面角：设n为平面α的一个法向量，a为直线a的方向向量，直线a与平面α所成的角为θ，则

θ＝

(3)二面角的求法：

①转化为分别在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的方向向量的夹角(注意：要特别关注两个向量的方向)．

如图所示，二面角α－l－β的大小为θ，A，B∈l，AC⊂α，BD⊂β，AC⊥l于A，BD⊥l与B，则θ＝〈\s\up6(→(→)，\s\up6(→(→)〉＝〈\s\up6(→(→)，\s\up6(→(→)〉．

②先求出二面角一个面内一点到另一面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角．

如图所示，已知二面角α－l－β，在α内取一点P，过P作PO⊥β，PA⊥l，垂足分别为O，A，连接AO，则AO⊥l成立，所以∠PAO就是二面角的平面角．

③先求出二面角的两个半平面的法向量的夹角，然后结合图形与题意判