真 假 p是q的充分不必要条件

q是p的必要不充分条件 假 真 p是q的必要不充分条件

q是p的充分不必要条件 真 真 p与q互为充要条件 假 假 p是q的既不充分也不必要条件

q是p的既不充分也不必要条件 　　

充分条件和必要条件的判断 　　

　　[例1]　对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，下列结论正确的是________．

　　①Δ＝b2－4ac≥0是函数f(x)有零点的充要条件；

　　②Δ＝b2－4ac＝0是函数f(x)有零点的充分条件；

　　③Δ＝b2－4ac>0是函数f(x)有零点的必要条件；

　　④Δ＝b2－4ac<0是函数f(x)没有零点的充要条件．

　　[思路点拨]　逐一分析Δ，根据二次函数与Δ的关系，判断结论是否正确．

　　[精解详析]　

　　①是正确的，因为Δ＝b2－4ac≥0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根⇔f(x)＝ax2＋bx＋c有零点；

　　②是正确的，因为Δ＝b2－4ac＝0⇒方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，因此函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点，但是f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点时，有可能Δ>0；

　　③是错误的，因为函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，但未必有Δ＝b2－4ac>0，也有可能Δ＝0；

　　④是正确的，因为Δ＝b2－4ac<0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根⇔函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)无零点．

　　[答案]　①②④

　　[一点通]　　充分、必要条件判断的常用方法：

　　(1)定义法：分清条件和结论，利用定义判断．

(2)等价法：将不易判断的命题转化为它的等价命题判断．