表示出来,利用这种转化,问题便迎刃而解.

答案:因为a=4,b=2,所以c==2.所以e=.A点在椭圆内,设M到右准线的距离为d,则=e,即|MF|=ed=d,右准线l:x=8,所以|AM|+2|MF|=|AM|+d.

因为A点在椭圆内,所以过A作AK⊥l(l为右准线)于K,交椭圆于点M0,

则A,M,K三点共线,即M与M0重合时,|AM|+d最小为AK,其值为8-(-2)=10.

故|AM|+2|MF|的最小值为10,此时M点坐标为(23,3).

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作出草图帮助分析问题.许多数学问题中常出现具有某种特征的数值,若能抓住这些数值的规律及特殊含义,加以分析,联想,可迅速获得问题的解答策略,否则会造成过程繁杂或在问题解决中产生思维障碍.

变式训练

1.已知双曲线=1的右焦点为F,点A(9,2),M为双曲线上的动点,则|MA|+|MF|的最小值为________________.

解析:双曲线的离心率e=,则=e(d为点M到右准线l的距离),右准线l的方程为x=,显然当AM⊥l时,|AM|+d最小,而|AM|+|MF|=|MA|+de=|MA|+d,而|AM|+d的最小值是A到l的距离为9-.

答案:

【例2】在双曲线=1上求一点P,使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍.

解析:用圆锥曲线的共同特征转化两个距离间的关系,即建立方程求解.

答案:设P点坐标为(x0,y0),F1,F2分别为双曲线的左,右焦点,准线方程为x=±.由于|PF1|=2|PF2|>|PF2|,故P在右支上.

所以=e=.因为|PF1|=2|PF2|,所以2(x0-)=x0+.所以x0=.

因为P在双曲线上,所以-=1.

所以y0=±119.所以P(,±).

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在圆锥曲线的焦半径问题中,常用圆锥曲线的共同特征去转化问题,可使解题过程简便快捷,也可以直接设点构造方程来求解.