2017-2018学年人教版选修4-5几个著名的不等式：柯西不等式教案-302edu教育资源网

　　4、定理4：（柯西不等式的推广形式）：设为大于1的自然数，（1，2，...，）为任意实数，则：，其中等号当且仅当时成立（当时，约定，1，2，...，）。

证明：构造二次函数：

即构造了一个二次函数：

　　由于对任意实数，恒成立，则其，

　　即：，

　　等号当且仅当，

　　即等号当且仅当时成立（当时，约定，1，2，...，）。

　　如果（）全为0，结论显然成立。

　　柯西不等式有两个很好的变式：

　　变式1 设，等号成立当且仅当

变式2 设ai，bi同号且不为0（i=1，2，...，n），则：，等号成立当且仅当。

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